trabajo final mat 4

NUMEROS COMPLEJOS.
Un numero complejo es un numero de la clase a + bi, en donde a y b son reales e i²= -1, (i=√-1).
La letra a se llama parte real de a + bi y bi se llama parte imaginaria. Si a es cero el número complejo se reduce a un número imaginario puro. Si b es cero se reduce a un número real. Por consiguiente, los números reales y los números imaginarios puros son casos especiales de los números complejos. Si b es diferente a cero, el número complejo se denominara número imaginario.
LAS 4 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS.
La suma, la diferencia y el producto de 2 números complejos se efectúan empleando los métodos descritos. La suma y la diferencia de 2+3i y 4-5i se obtiene de la misma manera que la suma y la diferencia de 2+3x y 4-5x. En consecuencia,
(2+3i) + (4-5i) = (2+4) + (3-5)i = 6 – 2i
y también (2+3i) - (4-5i) = (2-4) + (3+5)i = -2 + 8i.
Cuando se aplica el método usual de la multiplicación para encontrar el producto de (2+3i) (4-5i), se obtiene
(2+3i) (4-5i) = 8 + 2i – 15i² reemplazando i² por -1, se tiene
(2+3i) (4-5i) = 8 + 2i + 15 = 23 + 2i
El cociente que resulta al dividir 2 + 3i entre 4 – 5i se escribe a modo de fracción (2 + 3 i) / (4 – 5i), y esta se puede expresar como una fracción cuyo denominador es real si se multiplica cada uno de sus miembros por 4 + 5i. Se obtiene así
2 + 3i = (2 + 3i) (4 + 5i) = 8 + 22i + 15i² = 8 -15 + 22i = -7 + 22i
4 – 5i = (4 – 5i) (4 + 5i) = 16 – 25i² = 16 + 25 = 41
A la ultima fracción obtenida se le llama cociente de 2 + 3i entre 4 – 5i. En general, la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números complejos a + bi y c + di, se expresan en las formulas siguientes.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i(b – d)
(a + bi) (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)
a + bi = (a + bi) (c – di) = (ac + bd) + i(bc – ad)
c + di = (c + di) (c – di) = c² + d²
Para obtener el cociente expresado se multiplicaron el dividendo a + bi y el divisor c + di, por c – di.
Este factor c – di se llama conjugado de c + di y la relación establecida se define de la siguiente manera.
Se dice que dos números complejos son conjugados uno de otro si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias difieren solo en signo.
El conjugado de un número complejo, se escribe colocando sobre el número una línea horizontal llamada vínculo. De este modo.
X + iy = x - iy
Ejemplos.
1- (3 + 4i) + (2 – 7i) = 3 + 2 + i(4 – 7) = 5 – 3i
2- (3 + 4i) - (2 – 7i) = 3 - 2 + i(4 + 7) = 1 + 11i
3- (3 + 4i) (2 – 7i) = 6 + i(8 – 21) – 28i² = 34 – 13i
4- 3 + 4i = (3 + 4i) (2 + 7i) = 6 + i(21 + 8) + 28i² = -22 + 29i
2 – 7i = (2 – 7i) (2 + 7i) = 4 – 49i² = 53

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Un sistema de ecuaciones lineales con n variables, se escribe:
a11 x1 + a12 x1 + … + a1n xn = b1
a21 x2 + a22 x2 + … + a2n xn =b2
…………………………………………………..
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de todas las variables que satisfagan el sistema.
Ejemplo.
2x + y = 1 ec.1
X - y = 2 ec.2
Sumando ec.1 y ec. 2
3x = 3
X = 3 / 3
X = 1
Sustituyendo x en ec. 2
X – y = 2
(1) – y = 2
-y = 2 – 1
-y = 1
Y = -1
La solución es (1 , -1). El sistema tiene solución por lo que es consistente.
Método grafico.
2x + y = 1 ec.1
X – y = 2 ec.2
Despejando y de ec.1 y ec.2
2x + y = 1
Y = 1 – 2x ec.3
X – y = 2
-Y = - x + 2
Y = x - 2 ec.4
Graficando ec.3 y ec.4
Y = 1 - 2x
x
0
1
2
y
1
-1
-3

y = x -2
x
0
1
2
y
-2
-1
0



Método de Gauss
La eliminación de gauss-Jordán, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:
2x + y – z = 8
-3x – y + z = -11
-2x + y – 2 z = -3
Su matriz aumentada será esta:
2 1 -1 8
-3 -y 1 -11
-2 1 -2 -3
En primer lugar, reducimos la incógnita x, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por3/2, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:
2 1 -1 8
0 ½ ½ 1
0 2 1 5
El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por -2 y por -4, respectivamente.
2 0 -2 6
0 ½ ½ 1
0 0 -1 1
Por último, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por -2 y por 1/2, respectivamente:
2 0 0 4
0 ½ 0 3/2
0 0 -1 1
Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:
2x = 4
y/2 = 3/2
-z = 1
O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: ½ , 2 y -1 respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.
X = 2
Y = 3
Z = -1
ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN.
Son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada".
Ejemplo.Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:
2x + y - z = 8
-3x - y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
Intercambiar de posición dos ecuaciones
Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:
2x + y - z = 8
0x + ½ y + ½ z = 1
0x + 2y + z = 5

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.
2x + 0 - 2z = 6
0 + ½ y + ½ z = 1
0 + 0 - z = 1
Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
2x + 0 + 0 = 4
0 + ½ y + 0 = 3/2
0 + 0 - z = 1
Despejando, podemos ver las soluciones:
X + 0 + 0 = 2
0 + y + 0 = 3
0 + 0 + z = -1
MATRIZ.
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe A:= (ai,j) mxn para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclideo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo
Producto
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB.
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:
(A,B) [i, j] = A [i,1] b [1,j] + A [i, 2] b[2, j] + … + a [i, n] b [n, j]
para cada par i y j.
Por ejemplo: